Определение параллельных прямых

Две прямые называются параллельными (обозначение: \(a||b\)), если они не имеют общих точек (не пересекаются).

$$ a||b $$

Аксиома параллельности

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Из аксиомы параллельности и признаков параллельности прямых следует теорема: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.

Названия углов при двух прямых и секущей

Пусть прямая \(c\) пересекает каждую из прямых \(a\) и \(b\). Образующися при этом пары углов, отмеченных на рисунке, имеют следующие названия.

1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 – соответственные; 3 и 5, 4 и 6 – внутренние накрест лежащие; 4 и 5, 3 и 6 – внутренние односторонние; 1 и 7, 2 и 8 – внешние накрест лежащие; 1 и 8, 2 и 7 – внешние односторонние.

Признаки параллельности прямых

1. Если внутренние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

$$ \angle{1}=\angle{2} \, \Rightarrow \, a||b $$

2. Если сумма внутренних односторонних углов при двух прямых и секущей равна \(180^{\circ}\), то эти две прямые параллельны.

$$ \angle{1}+\angle{2}=180^{\circ} \, \Rightarrow \, a||b $$

3. Если соответственные углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

$$ \angle{1}=\angle{2} \, \Rightarrow \, a||b $$

4. Если внешние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

$$ \angle{1}=\angle{2} \, \Rightarrow \, a||b $$

5. Если сумма внешних односторонних углов при двух прямых и секущей равна \(180^{\circ}\), то эти две прямые параллельны.

$$ \angle{1}+\angle{2}=180^{\circ} \, \Rightarrow \, a||b $$

6. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны друг другу.

$$ a\perp c, \, b\perp c \, \Rightarrow \, a||b $$

Свойства углов при параллельных прямых и секущей

1. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.

$$ a||b \, \Rightarrow \, \angle{1}=\angle{2} $$

2. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\).

$$ a||b \, \Rightarrow \, \angle{1}+\angle{2}=180^{\circ} $$

3. Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.

$$ a||b \, \Rightarrow \, \angle{1}=\angle{2} $$

4. Внешние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.

$$ a||b \, \Rightarrow \, \angle{1}=\angle{2} $$

5. Сумма внешних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\).

$$ a||b \, \Rightarrow \, \angle{1}+\angle{2}=180^{\circ} $$

6. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.

$$ a||b, \, a\perp c, \, \Rightarrow \, b\perp c $$